三门问题(蒙提霍尔问题)的古典概率模型解答

【问题】

考虑这样一个游戏:
玩家甲面前有三扇关着的门,其中一扇门后有一辆车,另两扇背后各有一只羊。玩家甲首先选择其中一扇门,然后——

[玩法一] 知道门背后情况的主持人,打开剩下两扇中有羊的那扇(如果都是羊,则随机开一扇)。
问:玩家甲是否应该换另一扇没打开的门?

[玩法二] 不知道门背后情况的另一个玩家乙,打开剩下两扇中的一扇,结果发现是羊。
问:玩家甲是否应该换另一扇没打开的门?

【答案】

[玩法一] 应该换。
不换门得到车的概率是1/3,换门得到车的概率是2/3。

[玩法二] 换不换一样。
不换门得到车的概率是1/2,换门得到车的概率也是1/2。

【解释】

使用古典概率模型来分析。
古典概率模型要求:(1)有限个基本事件;(2)每个基本事件发生的概率相同。
如果基本事件概率不同,但互相概率比例已知,也可以通过重复基本事件从而转化为古典概型。

【玩法一】

序号 概率 门1 门2 门3
1 1/6 车(玩) 羊(主)
2 1/6 车(玩) 羊(主)
3 1/6 羊(玩) 羊(主)
4 1/6 羊(玩) 羊(主)
5 1/6 羊(玩) 羊(主)
6 1/6 羊(玩) 羊(主)

注意,由于基本事件3的概率是基本事件1的两倍,所以复制了基本事件4以使其符合概率比例。基本事件5同理。 从上表可知,不换门则事件12获胜,换门则事件3456获胜,概率之比为1:2。所以换门获胜的可能性更大。

【玩法二】

序号 概率 门1 门2 门3
1 1/6 车(甲) 羊(乙)
2 1/6 车(甲) 羊(乙)
3x 1/6 羊(甲) 车(乙)
4 1/6 羊(甲) 羊(乙)
5 1/6 羊(甲) 羊(乙)
6x 1/6 羊(甲) 车(乙)

注意,由于玩家乙开门结果是羊,因此事件36被去除,剩下1245概率相同。
从上表可知,不换门则12获胜,换门则45获胜,概率之比为1:1。所以换不换门都一样。

【玩法一的错误解法】

有人认为,既然剩下两个门,那么概率理所当然是50:50。这种观点的问题在于,他们创建的不是古典概型,却使用了古典概型的特点。
下表列出了这种观点:

序号 概率 门1 门2 门3
1 1/6 车(玩) 羊(主)
2 1/6 车(玩) 羊(主)
3 1/6 羊(玩) 羊(主)
4 1/6 羊(玩) 羊(主)

可以发现,基本事件12概率都为1/6,基本事件34概率则为1/3,并不是相等的1/4,这显然不是古典概型,所以如果想当然地认为事件1,2与事件3,4概率相等那就错了。

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